Лекция 14

Фракталы.

1.     Понятие фрактала.

Среди множества различных изображений, создаваемых компьютером, немногие могут соперничать с фракталами, благодаря их подлинной красоте и воздействию на воображение наблюдателя. Примеры фрактальных объектов в изобилии встречаются в природе: бесконечно изгибающаяся береговая линия, поверхность горной гряды, изрезанная трещинами и усеянная бесчисленными зубцами и т.д. Фрактальные характеристики имеет сама Вселенная.

В конце 19 века в связи с построением примеров непрерывных и нигде не дифференцируемых функций начали интенсивно изучаться геометрические объекты: линии, поверхности, пространственные тела и т.п., имеющие «сильно изрезанную форму» и обладающие некоторыми специфическими свойствами однородности и самоподобия. В 1905 году на ежегодной математической олимпиаде в Венгрии предлагалась задача: «Квадрат разделен на 9 частей (как для игры в крестики-нолики), и центральный квадрат удален. Затем каждый из оставшихся 8 квадратов разделен на 9 частей, центральный квадрат удален, и процедура повторяется многократно. Найти предел, к которому стремится площадь полученной фигуры». Полученная фигура есть ковер Серпинского -  классическая фигура в теории фракталов. Известно множество объектов, «застрявших на полпути от одного измерения к другому». По аналогии с ковром можно составить куб Серпинского, который будет представлять собой некоторую губку, почти не обладающую объемом. Такими объектами занимается теория размерностей в математике, которая, в частности, исследует возможность вычисления длины береговой линии, которая из-за изломанности формы не поддается простым вычислениям.

Интерес к фрактальным объектам возродился в середине 70-х годов 20 века. В 1975 году американский математик Бенуа Мандельброт установил, что если нанести определенные точки на плоскость комплексных чисел, то можно создать изображение чрезвычайно абстрактного вида. Мандельброт предложил использовать термин «фрактал» для обозначения объектов такого рода. Слово «фрактал» образовано от латинского fractus, что в переводе означает «состоящий из фрагментов» (от fractus производным является и английское fraction – дробь). В настоящее время понятия прочно вошли в обиход математиков и программистов. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature'. В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.

Мандельброт предложил следующее определение фрактала:

Фрактал – это структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому.

С математической точки зрения, фрактал – это прежде всего множество с дробной размерностью, нечто промежуточное между точками и линиями, линиями и поверхностями, поверхностями и телами.

Выяснилось, что дробную размерность имеют многие ранее изучавшиеся в математике объекты – канторово множество, кривая Вейерштрасса, кривая Кох и т.д. Дробная размерность множества выражается не целым числом, а дробью: одна целая и четыре десятых, две целых и шесть десятых и т.п. Как такое  возможно? Математика исходит из постулата о бесконечной делимости всего. Математическая точка не имеет размеров, тем не менее, бесконечно много бесконечно малых точек в пределе образуют вполне конечные тела. Так выяснилось, что созданное по определенному рецепту тело – это что-то среднее между не имеющей толщины и площади линией и имеющим площадь куском плоскости, или же между не имеющей толщины и объема плоской фигурой и имеющим объем пространственным телом. В этих объектах стерта грань между измерениями. Это одно из поразительных свойств фракталов.

Еще одним, пожалуй самым основным свойством фракталов является их самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале. Разглядывая фрактальные объекты мысленно или на практике в увеличительное стекло, приближая их, мы видим все то же строение.

Запустите программу paporot.pas.

Этот рисунок получен по строго математическому правилу "почкования". 

Самым знаменитым является фрактал, созданный компьютером, это множество Мандельброта. Упрощенно процесс его построения можно описать следующим образом. Представим себе числовую последовательность, каждый следующий элемент которой равен квадрату предыдущего элемента плюс постоянное слагаемое. К чему будет стремиться такая последовательность? На числовой прямой такая последовательность будет стремиться к нулю, если начинать с элемента, меньшего единицы, и к бесконечности, если начинать с элемента, большего единицы.

Рассмотрим теперь комплексную плоскость. Напомним, что комплексное число состоит из реальной и мнимой частей. Мнимая часть содержит квадратный корень из -1: i=Ö-1. Разработаны правила действий с комплексными числами, основанные на том, что i²=-1. Комплексные числа имеют значение во многих областях науки, являются основным аппаратом для расчетов в электротехнике и связи. Если на плоскости по горизонтальной оси откладывать реальные числа, а по вертикальной мнимые, то каждому комплексному числу будет соответствовать точка на этой плоскости. В нашем случае каждому элементу последовательности также будет соответствовать точка комплексной плоскости. В зависимости от начального числа могут быть три варианта: число быстро растет и уходит из поля зрения; число быстро уменьшается и исчезает; числа группируются внутри некоторой области, а при отображении их на плоскости появляются невероятные, поразительные изображения. Это группирование возводимых в квадрат комплексных чисел впервые подметил и описал Жюлиа в 1916 г. И это так называемое множество Жюлиа послужило отправной точкой для Бенуа Мандельброта, а некую сложную фигуру, которая получилась на комплексной плоскости в результате описанных действий, назвали множеством Мандельброта.

Роль фракталов в интенсивных научных исследованиях в сегодняшнем мире достаточно велика. Фракталы используются в медицине, биологии, метеорологии, физике полимеров, геоморфологии, теории турбулентности, теории броуновского движения и т.п. 

2.     Классификация фракталов.

2.1 Геометрические фракталы

Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.

Особое применение геометрические фракталы находят в машинной графике: они используются, например, когда требуется с помощью нескольких коэффициентов задать линии и поверхности очень сложной формы (искусственные облака, горы, поверхность моря и т.п.). Двухмерные геометрические фракталы используются для создания объемных текстур.

2.2 Алгебраические фракталы

Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процессы. Интерпретируя нелинейный итерационный процесс, как дискретную динамическую систему, можно пользоваться терминологией теории этих систем: фазовый портрет, установившийся процесс, аттрактор и т.д.

Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или как говорят - аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом, фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то, окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.

Множество Мандельброта относится к алгебраическим фракталам.

2.3 Стохастические фракталы

Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты, очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.

Существуют и другие классификации фракталов, например деление фракталов на детерминированные (алгебраические и геометрические) и недетерминированные (стохастические).

3.     Примеры.

Рассмотрим примеры программ, написанных на языке Паскаль. Каждая программа строит фрактальный объект. При этом, программа tree.pas использует аффинные преобразования, позволяющие переносить, поворачивать и изменять масштаб участков изображения, которые служат компоновочными блоками остальной части картинки. Программы fractal*.pas используют действия над комплексными числами.